Gocapital.ru

Мировой кризис и Я
7 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Аналитический анализ функции

Аналитическое исследование функции. Нахождение критических точек

Содержание

1. Условие задачи

2. Математическая модель задачи

3. Аналитическое исследование функции. Нахождение критических точек

4. Построение графика искомой функции средствами MS Excel

Введение

В данной работе требуется решить математическую задачу двумя способами, один – это привычный для нас вариант, с помощью математических исследований, а второй – с помощью специального офисного приложения MS Excel. Для этого нам необходимо:

— составить математическую модель задачи,

— определить исследуемую функцию, зависящую от одной переменной,

— построить график заданной функции с помощью графического редактора MS Excel,

— исследовать функцию по общей схеме, найти критические точки,

— найти решение задачи,

— сделать вывод, сравнить полученные результаты.

1. Условие задачи

Найти высоту конуса наименьшего объема, описанного около данного шара радиуса r.

Поясним, данную задачу графически:

О – центр, вписанного шара в конус

OН=OК – радиус вписанного шара

ВН – высота конуса

Математическая модель задачи

Введем необходимые обозначения и составим исходную функцию, зависящую от одной переменной.

Пусть BH=x, OH=r, BO=OC=x-r. Рассмотрим прямоугольный треугольник OCH:

Теперь, воспользуюсь формулой нахождения объема конуса, составим функцию, зависящую от одной переменной х – высота конуса.

Объем конуса будет вычисляться по следующей формуле:

Исследуем функцию вида:

Аналитическое исследование функции. Нахождение критических точек

Воспользуемся общей схемой исследования функции.

1. Найти область определения

Функция существует для всех положительных значений х, такжеподкоренное выражение должно быть положительным. Решим неравенство:

2. Найти (если это можно) точки пересечения графика с осями координат.

В нашем случае это невозможно, т.к. все параметры конуса числа положительные, т.е. точек пересечения с осями координат данная функция не имеет.

3. Найти интервалы знакопостоянства функции (промежутки, на которых или ).

при любом значении из области определения функции

4. Выяснить является ли функция четной, нечетной или общего вида.

Функция является четной функцией, т.к.

,

но для данной области определения является функцией общего вида.

5. Найдите асимптоты графика функции.

Функция не имеет вертикальной, горизонтальной и наклонной асимптот.

6. Найдите интервалы монотонности функции (проверить функцию на выпуклость и вогнутость, используя первую производную)

Для этого найдем первую производную от заданной функции:

Решим уравнение вида:

Получим, что при функция меняется, т.е. на промежутке функция монотонно убывает, а на монотонно возрастает.

7. Найти экстремумы функции.

Из пункта 6 следует, что точка максимума.

Найдем точки, в которых функция не существует:

Найдем значение функции в точке, где функция не существует, в точке экстремума и на концах промежутка области определения:

Таким образом, получим, что при высоте конуса конус имеет наименьший объем, равный

.

Аналитический анализ функции

664003, г. Иркутск, б. Гагарина, 20.
Тел.: (3952) 242214, 521298.
E-mail: olga@baikal.ru

Читать еще:  Анализ внутренней среды организации

Теория аналитических функций и функциональный анализ

I. Задачи и цели дисциплины и её место в учебном процессе

1. Цель преподавания дисциплины

Изучаются аналитические функции комплексного переменного и основы теории и методов функционального анализа. Возрастающая прикладная направленность теории функции комплексного переменного и функционального анализа делают их необходимыми при изложении всех основных курсов теоретической и прикладной математики. Излагаемый материал входит в фундамент современного математического образования.

2. Задачи изучения дисциплины

Необходимо усвоить следующие основные теоретические положения:

  • дифференцирование функций комплексного переменного;
  • конформные отображения;
  • интегрирование функций комплексного переменного;
  • интегральную формулу Коши и ее приложения;
  • аналитическое продолжение, вычеты и их приложения;
  • основы теории функциональных пространств;
  • основы теории линейных и нелинейных операторов.

Относительная легкость формального усвоения теоретического материала сочетается в этом курсе с серьезными трудностями в овладении конкретными методами теории функции комплексного переменного и функционального анализа.

На экзаменах студент обязан показать свое умение решать конкретные задачи.

3. Перечень дисциплин, усвоение которых необходимо для изучения данной дисциплины студентами

Для усвоения данной дисциплины нужно знать основы математического анализа, линейной алгебры, геометрии, дифференциальных уравнений.

II. Содержание дисциплины

1. Наименование тем, их содержание, объем в часах лекционной нагрузки.

5 семестр (54 часа)

  1. Основные понятия функции комплексного переменного.(2 часа)
    Геометрия комплексной плоскости. Последовательности, кривые и области на комплексной плоскости.
  2. Функции комплексных переменных.(4 часа)
    Предел, непрерывность функции. Производная и дифференциал. Условия Коши-Римана. Геометрический смысл. Простейшие конформные отображения и римановы поверхности.
  3. Интегрирование функций комплексного переменного.(4 часа)
    Интегральная теорема Коши. Первообразная. Интегральная формула Коши. Теорема о среднем. Принцип максимума.
  4. Интегралы типа Коши.(2 часа)
    Теорема Морера. Интеграл в смысле главного значения по Коши. Производные высших порядков аналитических функций.
  5. Теорема Тейлора.(4 часа)
    Теорема единственности аналитических функций. Теорема Лиувилля. Аналитическое продолжение.
  6. Изолированные особые точки и ряды Лагранжа.(5 часов)
  7. Вычеты аналитических функций.(10 часов)
    Основная теорема о вычетах. Применение вычетов к вычислению определенных интегралов. Преобразование Лапласа и понятие об операционном исчислении.
    8.Топологические и метрические пространства.(4 часа)
    Определение, примеры, предел, база, аксиомы отделимости, сепарабельность, компактность, непрерывные отображения, Топология в метрических пространствах, теорема о пополнении.
  8. Принцип сжатых отображений и его приложения.(3 часа)
    Интегральные уравнения Вольтерра и Фредгольма. Классификация интегральных уравнений. Теорема Фредгольма.
    10.Линейные и банаховы пространства.(5 часов) Определение, примеры. Теорема Хана-Банаха и ее следствия. Теорема отделимости. Гильбертовы пространства. Теорема об ортогональной проекции и ее приложения.

По данному разделу предусматривается 3 контрольных работы.

6 семестр (34 часа)

  1. Компактность в топологических и метрических пространствах. (4 часа)
  2. Принцип сжатых отображений.(4 часа) Основная теорема и ее следствия. Интегральные уравнения. Задача Коши.
  3. Линейные пространства.(4 часа) Определения, примеры. Выпуклые множества и функционалы. Теорема Хана-Банаха. Теорема отделимости и ее следствия. Нормированные пространства.
  4. Гильбертовы пространства.(4 часа) Ортонормированный базис. Теорема об ортогональной проекции. Пространства Соболева.
  5. Линейные операторы в нормированных пространствах. (21 час) Ограниченные, непрерывные и замкнутые операторы. Норма линейного оператора. Теоремы об обратном операторе. Примеры. Теорема Банаха о замкнутом графике. Точечная сходимость и теорема Банаха-Штейнгауза. Сопряженные пространства и операторы. Спектр оператора, резольвента, спектральное представление линейных операторов. Слабая сходимость и слабая компактность. Компактные операторы. Фредгольмовы операторы и теоремы Фредгольма. Интегральные уравнения Фредгольма. Нормально разрешимые операторы. Регуляризация некорректных задач. Вполне непрерывные самосопряженные операторы. Теорема Гильберта-Шмидта.
  6. Принцип неподвижных точек. (4 часа)
  7. Дифференцирование нелинейных операторов. (6 часов) Производная Фреше и производная Гато. Теорема Лагранжа. Метод Ньютона. Теорема от неявном операторе. Приложения. Экстремальные задачи.
  8. Обобщенные функции. (2 часа)
Читать еще:  Анализ системы принятия управленческих решений

В этом семестре предусмотрено 3 контрольных работы.

2. Лабораторные занятия, их содержание (34 часа)

  1. Основные понятия и определения функций комплексного переменного (2 часа)
  2. Регулярные функции и конформные отображения. (3 часа)
  3. Интегрирование функций комплексного переменного. (2 часа)
  4. Изолированные особые точки, Ряд Лорана. (2 часа)
  5. Приложения теории вычетов (5 час.)
  6. Метрические и линейные нормированные пространства. (2 часа)
  7. Полные пространства (2 часа)
  8. Принцип сжатых отображений (4 часа)

Компактность (3 часа)

  1. Линейные операторы и функционалы (5 час.)

III. Учебно-методические материалы по математическому анализу

Основная литература

  1. Канторович Л.В., Анилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М.: Ф-м. 1959.
  2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968.
  3. Краснов М.Л. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1979.
  4. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Физмат. 1959.
  5. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. Сидоров Ю.В. Лекции по теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1982.
  6. Сборник задач по теории аналитических функций (под ред. Евграфова М.А. М.: Наука, 1972)
  7. Треногин В.А. Задачи и упражнения по функциональному анализу. М.: Наука, 1984.

Дополнительная литература

  1. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976.
  2. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965.
  3. Шароглазов В.С. Теория линейных операторов в задачах. Иркутск, 1983.
  4. Петров В.А., Виленкин Н.Я., Траев М.И. Элементы функционального анализа в задачах. М.: Наука, 1978.
  5. Владимиров В.С. Сборник задач по уравнениям математической физики. М.: Наука, 1974.
  6. Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа.

IV. График самостоятельной работы студентов

Электронная библиотека

Функция, имеющая производную в точке z, называется дифференцируемой в этой точке. Рассмотрим условия дифференцируемости функции

Теорема. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , причем в этой точке функции и дифференцируемы. Тогда для дифференцируемости функции необходимо и достаточно, чтобы в этой точке имели место условия:

Эти условия называются условиями Д’ Аламбера-Эйлера или Коши-Римана – условия дифференцируемости функции .

Доказательство. Докажем необходимость условий (2.31). Пусть дифференцируемая в точке z; тогда функция имеет в точке z производную. Следовательно, существует

и этот предел не зависит от закона стремления . А при , т.е. точки к точке z по прямой параллельно оси Ох (рис. 2.12), получим:

Если идти по пути прямой, параллельной мнимой оси от ( , х – фиксировано, а ) (рис. 2.12 б), получим:

Так как предел единственный, а функция однозначная, то (2.32) и (2.33) дают:

Достаточность имеет место. Приведем схему доказательства этого. Дано, что и – дифференцируемые, т.е. имеют полные дифференциалы, а значит, имеют место условия дифференцируемости функций двух независимых переменных

где при для имеем:

Подставляя значения и из (2.34) в (2.35) и, заменяя равными им значениями частных производных по переменной х, исходя из условий (2.31), в пределе получим:

Тем самым достаточность условий (2.31) доказана.

Вывод: производную от функции при выполнении условий (2.31) можно находить по одной из формул (2.32) или (2.33), не прибегая к таблице производных.

Например, для по таблице производных .

Проверяем условия (2.31.): – условия дифференцируемости выполнены для любого z. Применяя формулу (2.32), получим:

Если однозначная функция дифференцируема не только в точке, но и в некоторой окрестности ее, то она называется аналитической в данной точке.

Функция, дифференцируемая во всех точках некоторой области, называется аналитической в этой области (регулярной) или голоморфной (т.е. имеющая форму целой функции). Поэтому ТФКП часто называется теорией аналитических функций.

Точки плоскости z, в которых является аналитической – называются правильными точками однозначной функции, а те, в которых f(z) не является аналитической – называется особыми точками (и в частности, в которых не определена). Условия (2.31) являются условиями аналитичности функции в области.

Выяснить, является ли аналитической.

Решение. Решая предыдущий пример мы проверили условия (2.31) и убедились, что они имеют место для любого z плоскости хОу. Следовательно, функция является аналитической (регулярной) во всей плоскости.

Выяснить, является ли регулярной функция .

Решение. , то , отсюда – условия (2.31) не выполняются нигде в плоскости z. Значит, не дифференцируема ни в одной точке плоскости.

Выяснить, является ли аналитической функция .

Условие (2.31) выполнено только для х = 0 и у = 0. Следовательно, дифференцируема только в одной точке и нигде не является аналитической.

Выяснить, является ли аналитической функция .

Условия (2.31) выполняются только в точке х = 0, у = 0, т.е. – единственная точка, где функция дифференцируемая и нигде не является регулярной.

Используя условия (2.31), доказать аналитичность функции на всей плоскости, получить формулу .

Ясно, что эти функции дифференцируемы при всех х и у. Условия (2.31): – выполняются. Следовательно, дифференцируемая в любой точке z, т.е. аналитическая на всей комплексной плоскости. По формуле (2.32):

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector