Конструктивный анализ это

Большая Энциклопедия Нефти и Газа

Конструктивный анализ

Конструктивный анализ и синтез зажимных приспособлений целесообразно проводить на основе классификации заготовок, схем их базирования и схем закрепления. [1]

Разветвленный конструктивный анализ ( Фан Динь Зиеу [21]) представляет собой ступенчатое построение конструктивной математики, когда мы начинаем с арифметических суждений, и на каждом следующем этапе объектом исследования являются все формулы предыдущего языка с понятием истинности для этих формул. [2]

Проведенный конструктивный анализ показал, что по аналогии со случаями, рассмотренными выше ( см. рис. 15), уравнение для определения угла пересечения межцентровых расстояний в центре Ор не зависит от порядка размещения по числам зубьев рассчитываемой гр и смежных с ней гх и zv звездочек. [4]

Проведенный конструктивный анализ показал, что по аналогии со случаями, рассмотренными выше ( см. рис. 18), уравнение для определения угла пересечения межцентровых расстояний в центре Ор не зависит от порядка размещения по числам зубьев рассчитываемой гр и смежных с ней zx и zv звездочек. [5]

Хотя конструктивный анализ нельзя отнести полностью к точным наукам, тем не менее методы, используемые для анализа конструкций электронных устройств, довольно хорошо разработаны. Применяемые математические и статистические методы подробно описаны в гл. Прогноз надежности электронных систем включает определение числа и типов электронных элементов, выбор ( по справочникам или по данным испытаний) показателей надежности для элементов, принятие определенных окружающих условий, установление пределов облегчения режимов работы элементов, определение степени резервирования схем и, наконец, оценку внутренне присущей конструкции надежности. Расчеты для систем средней и более высокой сложности обычно производятся на электронной вычислительной машине. Предсказанный на основе такого анализа показатель надежности хотя и не является точной величиной, но все же позволяет грубо оценить, близка ли надежность конструкции к требуемой надежности. Результаты анализа функциональных механических, гидравлических и пневматических конструкций обычно менее точны. Это объясняется тем, что по используемым элементам обычно имеется меньше данных. Анализ надежности силовых элементов основывается на оценке запасов прочности и преобразовании их с помощью соответствующей системы взвешивания в показатели надежности. [6]

Возможности конструктивного анализа формы на пространственно-графической модели определяются вторым по иерархии сложности базовым элементом изображения. Линия является основным средством воплощения конструктивной мысли в процессе графического формообразования. Так же, как и точечная инциденция, она представляет собой идеальное образование, не выступающее в качестве самостоятельного элемента реальной объемно-пространственной композиции. [7]

Результаты логического и конструктивного анализа также выражаются в понятиях содержатель-лого анализа. [9]

В конструктивном анализе предложение, совпадающее по формулировке с теоремой 1, опровергается на примере. [10]

В конструктивном анализе предложение, совпадающее по формулировке с теоремой 2, опровергается иа примере следующим образом. [11]

В конструктивном анализе предложение совпадающее по формулировке с леммой 1, может быть опровергнуто на примере. [12]

В конструктивном анализе предложения ( А), ( В) и ( Q опровергаются иа примере вида компонент шпекеровой последователь, ности [ см. комментарий 12 ] рациональных чисел. Этот вид ограничен-бесконечен и не имеет точки накопления, чего нельзя сказать о виде, приводимом в вашем примере. [13]

В процессе конструктивного анализа узлов и деталей двигателя значительное внимание уделяется конструктивным мероприятиям, способствующим ускорению и высокому качеству приработки в сопряжениях, методам конструктивного увеличения долговечности, а также связанным со своевременным и грамотным проведением технических уходов за ними. Выявляются причины снижения эффективных показателей работы двигателя от износа, особенно деталей цилиндро-поршневой группы. [14]

На основании конструктивного анализа тракторных дизелей и обобщения результатов стендовых и эксплуатационных испытаний различных моторных масел НАТИ была предложена классификация тракторных двигателей в зависимости от их требований к качеству моторных масел. [15]

Конструктивный анализ объекта

По архитектурно — конструктивному решению различают два типа крыш: чердачные и совмещенные.

По существу совмещенная крыша представляет собой гидроизоляционный ковер из нескольких слоев рубероида на битумной мастике, уложенный на чердачное перекрытие. Такие крыши обычно плоские, они не имеют уклона, а водоотвод с них осуществляется с помощью внутренних водостоков. При индивидуальном строительстве крыши такого типа устраиваются крайне редко (в основном лишь при возведении небольших хозяйственных построек).

Чердачные, скатные крыши состоят из деревянного каркаса и кровли. По конструкции деревянного каркаса, определяющей форму крыши, скатные крыши классифицируют на:

— односкатные, сооружаемые на зданиях, имеющих разновысокие наружные стены; их обычно устраивают на хозяйственных постройках, кроме того, односкатными крышами покрывают пристроенные нежилые части домов — веранды, сени, кладовые и т. п.;

— двускатные, состоящие из двух плоскостей, которые опираются на стены одинаковой высоты; этот тип крыш при строительстве индивидуальных жилых домов применяется наиболее часто, особенно если дом в плане представляет собой прямоугольник;

Кроме того, существуют другие типы скатных крыш — вальмовые, полувальмовые, многощипцовые. Однако они достаточно сложны и трудоемки в исполнении, поэтому применение таких типов крыш при индивидуальной застройке не практикуется.

— (вальмовые) четырёхскатные, вид крыши с четырьмя скатами, причём торцовые скаты имеют треугольную форму (называются «вальмы») и простираются от конька до карниза. Два других ската трапецеидальной формы. В случае, если торцовые скаты обрываются, не доходя до карниза, крыша называется полувальмовой (голландской).

— многощипцовая, её устраивают на домах со сложной многоугольной формой плана. Такие крыши имеют большее количество ендов (внутренний угол) и ребер (выступающие углы, которые образуют пересечения скатов кровли), что требует высокой квалификации при выполнении кровельных работ.

-Мансардная крыша — покатая крыша, для которой характерна конструкция ската, состоящего из двух частей — верхней, пологой, и нижней, более крутой. Образуемое тем самым более объёмное чердачное помещение называют мансардой или мансардным этажом.

— Шатровая крыша: все скаты такой крыши, в виде равнобедренных треугольников, сходятся в одной точке. Определяющим элементом в ней является симметричность. Применяется для строений в форме квадрата или равностороннего многоугольника.

— Купольные и конические крыши: применяются для перекрытия зданий кругового очертания в плане. (Приложене, рис.3)

«Скелет» крыши — стропильный каркас

В малоэтажных домах индивидуальной застройки несущей конструкцией обычно является деревянный стропильный каркас. Деревянный каркас крыши состоит из следующих конструктивных элементов: мауэрлата, стропил, затяжек, стоек, подкосов и ригелей. (Приложение, рис 4)

Стропила принимают на себя вес кровли, снега и давление ветра, поэтому древесина для их изготовления не должна иметь никаких изъянов: гнили, червоточин, выпадных сучков, трещин в зонах соединения, трещин вне зон соединения глубиной более Х/А ТОЛЩИНЫ бруса и длиной более

Самый простой каркас у односкатных крыш, он состоит из наслонных стропил, которые опираются на мауэрлаты, уложенные по верху разновысоких стен, сверху стропил набивается обрешетка.

У каркасов многоскатных крыш стропила висячие, нижними концами они опираются на стены, а верхние концы стропил сходятся друг с другом в коньке. Стропила можно крепить прямо к мауэрлату, но если нужно перекрыть большой пролет, а также при использовании тяжелых кровельных материалов нагрузка может оказаться чрезмерной. В подобных случаях в конструкцию каркаса включаются дополнительные элементы. При этом собираются стропильные фермы, из которых затем и монтируется каркас.

(Приложение, рис. 5)

При строительстве индивидуальных домов в качестве кровельных материалов в настоящее время чаще всего используются волнистые асбестоцементные листы, кровельная сталь, кровельный алюминий, глиняная черепица, мягкая черепица и металлочерепица; изредка применяются рулонные кровли, но в основном при строительстве надворных хозяйственных построек. Такие кровли, как глиносоломенная и глинокамышовая, давно ушли в прошлое.

Наиболее популярной у отечественных индивидуальных застройщиков по-прежнему остается кровля из волнистых асбестоцементных листов, поскольку этот кровельный материал обладает массой положительных качеств: он дешевый, простой в укладке, стойкий к атмосферным воздействиям, пожаробезопасный и долговечный (срок его эксплуатации составляет десятки лет).

Второй по популярности является кровельная сталь, выпускаемая листами стандартных размеров 710 х 1420 мм. Обычную кровельную сталь для продления срока ее эксплуатации красят суриком или масляной краской, оцинкованная сталь в покраске не нуждается, поскольку практически не подвержена коррозии. Наиболее долговечна металлическая кровля из алюминиевого сплава, в состав которого входят магний и марганец, срок ее эксплуатации достигает 90 лет.

Кровля из глиняной (керамической) черепицы не требует ухода, хорошо ремонтируется и может эксплуатироваться свыше 60 лет. Однако черепица в традиционном исполнении слишком тяжела (поэтому для ее устройства необходимы более массивные стропила и обрешетка), да и стоит она дорого.

Недостатки керамической черепицы призвана устранить металлочерепица, представляющая собой оцинкованный стальной лист с двусторонним полимерным покрытием; внешне этот кровельный материал очень похож на традиционную черепицу.

Мягкая черепица представляет собой три слоя битумной массы, армированные стеклохолстом повышенной прочности, что придает этому кровельному материалу эластичность, прочность, долговечность (период эксплуатации достигает 50 лет), герметичность, способность противостоять перепадам температур и иным неблагоприятным климатическим воздействиям.

Правила и порядок настилки различных кровельных материалов неодинаковы. (Приложение, рис.6)

Листы шифера выпускаются стандартных размеров: 1200 х 680 мм толщиной 5,5 мм. Из-за большого размера при укладке уменьшается количество стыков, что увеличивает надежность кровли. Кроме того, выпускаются различные конфигурации листов в виде уголков, лотков и коньковых элементов, что облегчает процесс покрытия сложных участков кровли.

Металлическую кровлю к обрешетке крепят не гвоздями, а кляммерами — полосками кровельной стали длиной 15— 18 см и шириной 3 — 5 см, которые с одной стороны прибиваются к обрешетке, а с другой — заворачиваются в стоячий фальц.

Штучная кровля — черепица

Черепичная кровля относится к разряду долговечных: минимальный срок ее эксплуатации составляет 50 лет. Сегодня в продаже имеется пазовая штампованная, пазовая ленточная, плоская ленточная и коньковая черепица.

Представление о том, что мягкая кровля — это кровля из рубероида или толя, остались в прошлом. Сегодня производители стройматериалов предлагают огромное количество мягких кровельных материалов, которые по прочности, долговечности, гидроизоляционным качествам не уступают некоторым видам жестких кровель, а по декоративным качествам даже превосходят их. Кроме того, некоторые материалы имеют самоклеящийся слой, что облегчает их настилку.

Долговечность мягкой кровли во многом зависит от того, насколько качественно было подготовлено основание под нее; оно должно быть сплошным, ровным, на нем не должно быть выступающих металлических элементов (гвоздей, шурупов, скоб). Мягкую кровлю следует укладывать в сухую погоду.

Самый ответственный этап — наклейка материала, именно здесь чаще всего допускается брак.

Фальцевая кровля – это покрытие, состоящее из металлических панелей, картин, которые друг с другом скреплены специальным соединением, фальцем. Они бывают четырех видов: одинарные (лежачие и стоячие) и двойные (лежачие и стоячие).

Утеплитель, при устройстве скатной кровли здания, может укладываться по проекту в один или несколько слоев. Монтаж выполняется между деревянными стропильными ногами системы скатной крыши здания. Общая толщина утеплителя при монтаже определяется расчетом и зависит от коэффициента теплопроводности и условий эксплуатации скатной кровли дома.

По проекту, с внешней стороны деревянной стропильной системы, при устройстве крыши здания, выполняют монтаж слоя гидроизоляции и ветроизоляции. Для ее устройства в проектах крыши здания предусматривают применение супердиффузионных, диффузионных или антиконденсатных мембран. Они крепяться при устройстве кровли к ребрам деревянных стропильных ног системы. Монтаж кровли здания выполняют с воздушным зазором или без зазора. Это зависит от проекта здания и применяемой для монтажа пленки.
Для устройства утепления крыши дома в проект выбирают изоляцию обладающую, после монтажа, высокой паропроницаемостью, то есть свободно пропускающую через свою толщу пары воды. Этой способностью в максимальной степени обладает утеплитель для монтажа кровли здания из минеральной ваты. С успехом применяется для проектов устройства теплоизоляции скатной кровли штапельное стекловолокно. Эти виды утеплителей негорючи, их монтаж защитит деревянные стропильные конструкции кровли здания от огня при пожаре.

Пароизоляция и гидроизоляция кровли

Система паро-влагоизоляции зданий представляет собой палитру современных полимерных материалов, выделяющих её из рядов аналогичных материалов, представленных на Российском рынке.

Пароизоляция улучшает теплоизолирующие свойства утеплителя, защищает его и строительные конструкции от насыщения парами воды изнутри помещения в зданиях всех типов.

Гидроизоляция для защиты конструкций от проникновения конденсата.

Влагоизоляция для защиты сооружений от водяных паров и капиллярной влаги.

Отражающая теплоизоляция повышает теплосопротивление кровельных конструкций без увеличения толщины утеплителя.

Ветроизоляция для защиты утеплителя и элементов кровли от конденсата и выветривания. (Приложение, рис.8)

Наличие вентиляции способно значительно увеличить срок эксплуатации деревянных конструкций. Есть много вариантов вентиляции подкровельного пространства, в том числе и вентиляции принудительного типа. Вентилирование может происходить как через коньковые или карнизные продухи, так и через оконные проемы.

Отсутствие вентиляции приводит к тому, что на деревянные конструкции и тепловую изоляцию кровли негативное действие оказывает влажность. Вследствие этого существует достаточно большой процент вероятности развития грибка и плесени, которые способны за короткий период времени нанести существенный вред деревянным элементам. Кроме того, влажность ведет к коррозии металлических креплений и конструкций, разрушает бетонные и кирпичные детали. В летнее время отсутствие вентиляции кровли неизбежно приводит к перегреву кровельного материала и подкровельного пространства. Буквально через несколько месяцев без вентиляции из-за конденсата может пострадать внутренняя обшивка помещения, т.к. на ней начнут образовываться пятна и разводы.

Математическая энциклопедия
КОНСТРУКТИВНЫЙ АНАЛИЗ

КОНСТРУКТИВНЫЙ АНАЛИЗ — рекурсивный анализ, вычислимый анализ,- название, объединяющее различные течения в основаниях математики и математич. анализе. При развитии К. а., как правило, преследуются обе или вторая из следующих двух принципиальных целей: (1) нетрадиционное построение тех или иных фрагментов анализа на основе более ясных и в большей степени учитывающих реальные вычислительные возможности исходных концепций, нежели теоретико-множественные посылки обычного анализа; (2) изучение эффективности в анализе; введение и изучение вычислимых объектов анализа, в частности исследование вопроса о том, по каким исходным данным можно эффективно находить те или иные вычислимые объекты. В соответствии с этими целями, исследования по К. а. можно грубо разделить на два типа: претендующие и не претендующие на достижение цели (1). Для исследований первого типа характерно либо использование нестандартных логик, либо существенные ограничения в употреблении традиционных логнче’ских и математических средств, в то время как в работах второго типа свободно используются традиционная математика и логика. Ко второму типу относятся основополагающие работы (см. [1]-[4]), в к-рых были выработаны современные концепции вычислимого действительного числа (см. также [5]-[12]). К первому типу относятся исследования по интуиционистскому анализу (см. Интуиционизм), возникшие в связи с выдвинутой Л. Э. Я. Брауэром (L. E. J. Brower) интуиционистской программой построения математики и оказавшие существенное влияние на формирование задач и методов К. а., рекурсивный анализ Р. Л. Гудстейна (R. L. Соodstein, см. [12]), а также оригинальная и чрезвычайно далеко продвинутая система К. а., развитая Э. Бишопом (см. [13]). (Конструктивный анализ Бишопа занимает промежуточное положение между интуиционистским анализом и системами, использующими точные концепции алгоритма.) Своеобразная трактовка К. а. (в частности, теории меры) была предложена в 1970 П. Мартином-Лёфом [14]. В СССР начиная с 50-х гг. в трудах А. А. Маркова, Н. А. Шанина и их учеников (см. [15], [16], [19]) интенсивно разрабатывалась система К. а., относящаяся к первому типу и укладывающаяся в рамки конструктивного направления в математике. Являясь частью конструктивной математики, эта система (за к-рой ниже для краткости закрепляется термин «К. а.») сохраняет характерные черты последней. В частности, рассмотрения ограничиваются конструктивными объектами (чаще всего словами в нек-рых алфавитах или объектами, допускающими очевидное кодирование словами) и проводятся в рамках абст ракции потенциальной осуществимости с применением специальной конструктивной логики, вырабатываемой с учетом специфики конструктивных объектов как результатов потенциально выполнимых конечных построений. При этом полностью исключается использование абстракции актуальной бесконечности, и интуитивное понятие «эффективности» связывается с одним из точных понятий алгоритма (в большинстве работ, относящихся к рассматриваемой системе К. а., используется понятие нормального алгорифма). В рамках К. а. получено большое число результатов, интересных как с точки зрения круга вопросов (1), так и с точки зрения круга вопросов (2). По существу показана возможность построения средствами конструктивной математики ряда теорий, таких, как теория элементарных функций, теория рядов, интегрирования по Римануи Лебегу, теория функций комплексного переменного, теория обобщенных функций и т. п. Получающиеся конструктивные теории наряду со сходством с одноименными традиционными теориями обладают заметными отличиями от них; впрочем эти отличия проявляются не столько в конкретных вопросах, связанных с приложениями анализа, сколько в теоретич. концепциях (таких, напр., как концепция компактности и т. д.).

Фундаментальными понятиями К. а. являются понятия конструктивного действительного числа и конструктивной функции действительного переменного. Конструктивные действительные числа можно ввести различными (не всегда эквивалентными) способами. Опишем один из таких способов, следующий канторовскому построению классического континуума п приводящий к наиболее употребительной и естественной концепции конструктивного (вычислимого) действительного числа. Сначала вводятся натуральные числа как слова вида 0, 01,011, . в двухбуквенном алфавите <01>. Аналогично определяются рациональные числа как слова нек-рого типа в алфавите Определяются отношения порядка и равенства над рациональными числами, а также арифметич. операции над ними. Конструктивной последовательностью натуральных чисел (к. п. н. ч.) наз. (нормальный) алгорифм, перерабатывающий всякое натуральное число в натуральное число. Аналогичным образом трактуется понятие конструктивной последовательности рациональных чисел (к. п. р. ч.). Схемы нормальных алгорифмов однозначным образом кодируются словами в алфавите <01>; код данного алгорифма наз. его записью. К. п. н. ч. аназ. регулятором фундаментальности к. п. р. ч. Р, если для любых натуральных I, m, n таких, что l,выполняется неравенство |b(l)-b(m)| -n . К. п. р. ч. наз. фундаментальной, если можно построить ее регулятор фундаментальности. Конструктивными действительными числами (к. д. ч.) наз. рациональные числа, а также слова в алфавите вида (играет роль разделительного знака), где U- запись некоторой к. п. р. ч., V — запись к. п. н. ч., являющейся регулятором фундаментальности этой к. п. р. ч. Описанное понятие к. д. ч. (предложенное Н. А. Шаниным, см. [20], называвшим такие к. д. ч. «FR-числами» или «дуплексами») хорошо согласуется с интуитивным представлением о вычислимых действительных числах как объектах, допускающих эффективную сколь угодно точную аппроксимацию рациональными числами. Для к. д. ч. можно определить естественным образом отношения порядка и равенства и арифметич. операции (причем последние задаются алгоритмами). Система к. д. ч. с этими отношениями равенства и порядка и арифметич. операциями оказывается полем. Далее, можно ввести в рассмотрение конструктивные последовательности к. д. ч. (к. п. д. ч.) и определить в том же порядке идей, что и выше, понятие фундаментальной к. п. д. ч. и понятие конструктивной сходимости к. п. д. ч. к данному к. д. ч. Относительно такого понятия сходимости система к. д. ч. оказывается полной: существует алгоритм, находящий, исходя из записи всякой фундаментальной к. п. д. ч. g. и записи ее регулятора фундаментальности, такое к. д. ч., к к-рому (конструктивно) сходится g(теорема о полноте системы к. д. ч.). Методом, аналогичным канторовскому, можно доказать также теорему о конструктивной несчетности множества всех к. д. ч.: осуществим алгоритм, перерабатывающий запись всякой к. п. д. ч. в к. д. ч., отличное (в смысле равенства к. д. ч.) от всех членов этой к. п. д. ч. Теорема о полноте придает значительное сходство конструктивной и классич. теориям пределов, особенно сильно проявляющееся в вопросах сходимости тех или иных конкретных используемых в анализе последовательностей и рядов. Вместе с тем здесь имеются и существенные отличия, проявляющиеся, напр., в следующем результате Э. Шпеккера (см. [4]): можно построить возрастающую к. п. р. ч. b такую, что всегда 0 1) наз. (нормальный) алгорифм a. такой, что a(0) есть целое число и a(i) при i>0 есть натуральное число, причем (с m-ичной дробью a. связывается к. п. р. ч. Несмотря на простоту такого понятия к. д. ч., оно не получило распространения, поскольку обладает рядом существенных неудобств: напр., не сохраняется теорема о полноте и невозможен алгорифм, осуществляющий сложение любых двух m-ичных дробей.

Понятие конструктивной функции (к. ф.) является естественным уточнением интуитивного понятия точечной вычислимой функции над вычислимыми действительными числами. Конструктивной функцией (одной действительной переменной) наз. (нормальный) алгорифм Fтакой, что для любых равных к. д. ч. хи у, если Fприменим к х, то Fприменим к у и F(x), F(y)суть равные к. д. ч. В терминах к. ф. могут быть введены элементарные функции (показательная функция, тригонометрия, функции и др.), обладающие обычными свойствами; для конструктивных функций могут быть развиты теории дифференцирования, интегрирования по Риману и т. д., близкие к традиционным. Вместе с тем возможны и необычные с традиционной точки зрения функции: напр., построена к. ф., всюду определенная, непрерывная на единичном сегменте и не ограниченная на нем (см. [17]). Не имеет аналогов в традиционном анализе и теорема, согласно к-рой всякая к. ф. конструктивно непрерывна в любой точке, в к-рой она определена (см. [18]).

Система понятий и методы К. а., позволяя существенно продвинуться с точки зрения цели (1), оказались также удобными для выявления вычислительных связей в анализе, поскольку многие теоремы К. а. являются либо утверждениями об осуществимости алгоритмов, строящих нек-рые конструктивные объекты по тем пли иным исходным данным, либо утверждениями, что такие алгоритмы невозможны. В настоящее время (к 1978) установлена неразрешимость большого числа естественных массовых проблем анализа. Результаты этого типа (совершенно отсутствующие в курсах традиционного анализа) имеют очевидную теоретич. и практич. ценность, так как они выявляют потенциальные вычислительные тупики и способствуют четкому уяснению принципиальных границ вычислительных возможностей. Так, доказана невозможность следующих алгоритмов (в смысле одного из уточнений понятия алгоритма): 1) распознающего для произвольного конструктивного действительного числа равно оно нулю или нет; 2) находящего для каждой сходящейся к. п. р. ч. то к. д. ч., к к-рому она сходится; 3) находящего для каждой совместной системы линейных уравнений (над полем к. д. ч.) какое-либо ее решение; 4) находящего для каждой непрерывной кусочно линейной знакопеременной функции корень этой функции; 5) находящего для всякой непрерывной кусочно линейной на единичном сегменте функции ее интеграл Римана по этому сегменту. К этому же кругу результатов принадлежит и следующая теорема, полностью решающая вопрос о возможности эффективного перехода от одной системы счисления к другой: алгоритм, находящий для всякой m-ичной конструктивной дроби равную ей n-ичную конструктивную дробь, возможен тогда и только тогда, когда множество простых делителей псодержится в множестве простых делителей т(см. [6]). (В частности, возможен алгоритм перехода от десятичной системы счисления к двоичной, но невозможен алгоритм перехода от двоичной системы к десятичной.) Теоремы о невозможности алгоритмов часто сопровождаются в К. а. теоремами о существовании алгоритмов, решающих рассматриваемые задачи по более полным исходным данным (ср. теорему о полноте к. д. ч. и пример 2)) или с произвольной наперед заданной точностью (напр., можно построить алгоритм, находящий для каждой всюду определенной знакопеременной к. ф. f и каждого пк. д. ч. х _{f, п} такое, что |f(x_{f, n})| -n ). Сопоставление таких результатов позволяет во многих случаях получить отчетливое представление о том, как можно корректно ставить ту или иную алгоритмич. проблему.

Лит.:[1] Turing A. M., «Proc. London Math. Soc. Ser. II», 1937, v. 42, p. 230-65; v. 43, part 6, p. 544-46; [2] Ваnach S., Mazur S., «Ann. polon. math.», 1937, v. 16, p. 223; [3] Mazur S., Computable analysis, Warszawa, 1963; [4] S p e ck er E., «J. Symbol. Log.», 1949, v. 14, № 3, p. 145- 158; [5] Grzegorczyk A., «Fundam. math.», 1955, v. 42, p. 168-202,232-39; 1957, V. 44, № 1, p. 61-71; [6] Mоstоwsk i А., там же, р. 37-51; [7] Кlaua D., Konstruktive Analysis, В., 1961; [8] Кreisel G., Lасоmbe D., Sсhoenfield J. R., «C. r. Acad. sci.», 1957, t. 245, № 4, p. 399-402; [9] Кreisel G., Lасоmbe D., там же, Ni14, p. 1106-1109; [10] Lacombe D., там же, 1955, t. 240, №26, p. 2478-80; t. 241, N4 1, p. 13-14, №2, p. 151-53, № 19, p. 1250-52; 1957, t. 244, № 7, p. 838-40, N5 8, p. 996 — 97; t. 245, № 13, p. 1040-43; 1958, t. 246, № 1, p. 28-31; [11] Успенский В. А., Лекции о вычислимых функциях, М., 1960; [12] Гудстейн Р. Л., Рекурсивный математический анализ, пер. с англ., М., 1970; [13] Bishop E., Foundations of constructive analysis, N. Y., 1967; [14] Мартин-Лёф П., Очерки по конструктивной математике, пер. с англ., М., 1975; [151 Марков А. А., Теория алгорифмов, М.- Л., 1954; [16] Шанин Н. А., «Тр. матем. ин-та АН СССР», 1962, т. 67, с. 15-294; [17] Заславский И. Д., там же. с. 385-457; [18] Цейтин Г. С, там же, с. 295-361; [19] Кушнер Б. А., Лекции по конструктивному математическому анализу, М., 1973.

Конструктивный анализ это

Имеющиеся здесь исследования можно очень грубо разделить на два типа: проводимые в рамках традиционного анализа и формально независимые от него. Первое направление представлено рядом работ, в том числе основополагающими работами А. Тьюринга, С. Банаха и С. Мазура, Э. Шпекера, в которых были, по существу, выработаны современные концепции вычислимого действительного числа. Ко второму типу относятся исследования по интуиционистскому анализу, возникшие в связи с выдвинутой Л. Брауэром интуиционистской программой построения математики и оказавшие существенное влияние на формирование задач и методов К. а., рекурсивный

анализ Р. Гудстейна, а также оригинальная и далеко продвинутая система К. а., развитая в последнее время Е. Бишопом. В Советском Союзе, начиная с 50-х годов, интенсивно разрабатывалась система К. а., относящаяся ко второму типу и являющаяся частью общей программы конструктивного построения математики (см. Конструктивное направление в математике). Основополагающий вклад в развитие этой системы (для краткости ее наз. «конструктивный анализ») внесли А. А. Марков, Н. А. Шанин и их ученики. Являясь частью конструктивной математики, К. а. сохраняет характерные черты последней. В частности, рассмотрения ограничиваются конструктивными объектами (чаще всего словами в некоторых алфавитах или объектами, допускающими очевидное кодирование словами) и проводятся в рамках абстракции потенциальной осуществимости с применением спец. конструктивных правил понимания матем. суждений. При этом полностью исключается использование абстракции актуальной бесконечности и интуитивное понятие «эффективности» связывается с одним из точных понятий алгоритма (в большинстве работ, относящихся к рассматриваемой системе К. а., используется понятие нормального алгоритма).

В рамках К. а. получено большое число результатов, интересных как с точки зрения проблематики цели 1-й, так и с точки зрения целей 2-й и 3-й. По существу показана возможность построения средствами конструктивной математики ряда теорий, таких как теория рядов, интегрирования по Риману и Лебегу, теория функций комплексного переменного, теория обобщенных функций и т. п. Получающиеся конструктивные теории обладают, наряду со сходством с одноименными традиционными теориями, и заметными отличиями от них, впрочем отличия эти проявляются не столько в конкретных вопросах, связанных с приложениями анализа, сколько в теор. концепциях (таких, напр., как концепция компактности и т. д.). Фундаментальными понятиями К. а. являются понятия конструктивного действительного числа (КДЧ) и конструктивной функции действительной переменной. Конструктивные действительные числа можно ввести различными (не всегда эквивалентными) способами. Одним из естественных путей является следующий путь, аналогичный канторовскому построению действительных чисел в традиционном анализе. Сначала вводятся натуральные числа, как слова в двухбуквенном алфавите вида . Аналогично определяются рациональные числа, как слова некоторого типа в алфавите Определяются отношения порядка и равенства над рациональными числами, а также арифм. операции над ними. Конструктивной последовательностью натуральных чисел нормальный алгоритм, перерабатывающий всякое натуральное число в [туральпое число. Аналогичным образом трактуется понятие конструктивной последовательности рациональных чисел (КПРЧ). Схемы нормальных алгоритмов однозначным образом кодируются словами в алфавите код данного алгоритма наз. его записью. КПНЧ а наз. регулятором фундаментальности КПРЧ Р, если для любых натуральных таких, что выполняется неравенство КПРЧ наз. фундаментальной, если можно построить ее регулятор фундаментальности. Конструктивными действительными числами рациональные числа, а также слова в алфавите вида где U — запись некоторой КПРЧ, V — запись КПНЧ, являющейся регулятором фундаментальности этой КПРЧ. Описанное понятие КДЧ хорошо согласуется с интуитивным представлением о вычислимых действительных числах как объектах, допускающих эффективную сколь угодно точную аппроксимацию рациональными числами. Для КДЧ можно определить естественным образом отношения порядка и равенства и арифм. операции (причем, последние задаются алгоритмами). Система КДЧ с этими отношениями равенства и порядка и арифм. операциями оказывается полем. Далее можно ввести в рассмотрение конструктивные последовательности КДЧ (КПДЧ) и определить в том же порядке идей, что и выше, понятие фундаментальной КПДЧ и понятие конструктивной сходимости КПДЧ к данному КДЧ. Относительно такого понятия сходимости система КДЧ оказывается полной: существует алгоритм, находящий, исходя из записи всякой фундаментальной КПДЧ у и записи ее регулятора фундаментальности, КДЧ, к которому (конструктивно) сходится у. Методом, аналогичным канторовскому, можно доказать также теорему о конструктивной несчетности множества всех КДЧ, состоящую в том, что осуществим алгоритм, перерабатывающий запись всякой КПДЧ в КДЧ, отличное (в смысле равенства КДЧ) от всех членов этой КПДЧ. Теорема о полноте придает значительное сходство конструктивной и классической теории пределов, особенно сильно проявляющееся в вопросах сходимости тех или иных конкретных, используемых а анализе, последовательностей и рядов. Но здесь имеются и существенные отличия, проявляющиеся, напр., в следующем результате Э. Шпекера: можно построить возрастающую КПРЧ Р такую, что всегда и, несмотря на это, не является фундаментальной следовательно, не сходится (конструктивно) ни к какому КДЧ).

Понятие конструктивной функции (КФ) является естественным уточнением интуитивного понятия точечной вычислимой функции над вычислимыми действительными числами. Конструктивной функцией (одной действительной переменной) наз. нормальный алгоритм такой, что для любых равных КДЧ х и у, если F применим к то F применим к у и равные КДЧ. В терминах КФ могут быть введены элементарные функции (показательная функция, тригонометрические функции и т. д.), обладающие обычными свойствами; для КФ могут быть развиты теории дифференцирования

интегрирования по Риману и т. д., близкие к традиционным. Вместе с тем, возможны и необычные с традиционной точки зрения функции: напр., существует всюду определенная КФ, непрерывная на единичном сегменте и неограниченная на нем. Не имеет аналогов в традиционном анализе и теорема, согласно которой всякая КФ конструктивно непрерывна в любой точке, в которой она определена.

Система понятий и методы К. а., позволяя существенно продвинуться с точки зрения цели 1-й, оказались также удобными для выявления вычислительных связей в анализе, поскольку многие теоремы К. а. являются либо утверждениями об осуществимости алгоритмов, строящих некоторые конструктивные объекты по тем или иным исходным данным, либо утверждениями, что такие алгоритмы невозможны. Установлена неразрешимость большого числа естественных массовых проблем анализа. Результаты этого типа (совершенно отсутствующие в курсах традиционного анализа) имеют теор. и практич. ценность, т. к. они выявляют потенциальные вычислительные тупики и способствуют четкому уяснению принципиальных границ вычислительных возможностей. Напр., доказана невозможность следующих алгоритмов (в смысле одного из точных понятий алгоритма): 1) распознающего для произвольного конструктивного действительного числа (КДЧ), равно оно нулю или нет; 2) находящего для каждой сходящейся конструктивной последовательности рациональных чисел то КДЧ, к которому она сходится; 3) находящего для каждой совместной системы линейных уравнений (над полем КДЧ) какое-нибудь ее решение; 4) находящего для каждой непрерывной, кусочно-линейной, знакопеременной функция корень этой функции; 5) находящего для всякой непрерывной, кусочно-линейной на единичном сегменте функции ее интеграл Римана по этому сегменту. Теоремы невозможности алгоритмов часто сопровождаются в К. а. теоремами о существовании алгоритмов, решающих рассматриваемые задачи по более полным исходным данным (сравните теорему о полноте КДЧ и 2-й пример) или с произвольной, наперед заданной точностью (напр., можно построить алгоритм, находящий для каждой всюду определенной знакопеременной конструктивной функции f и каждого n КДЧ так, что . Сопоставление таких результатов позволяет в ряде ситуаций получить представление о том, как можно корректно ставить ту или иную алгоритм. проблему.

Лит.: «Труды Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР», 1958, т. 52; 1962, т. 67; 1964, т. 72; 1967, т. 93; Вейль Г. О философии математики. Пер. с нем. М.- Л., 1934; Turing А. М. On computable numbers, with an application to the Entscheidungs problem. «Proceedings of the London Mathematical Society», 1936, series 2, v. 42, part 3; Turing A. M. A correction. «Proceedings of the London Mathematical Society», 1937, series 2, v. 43; Specker E. Nicht Konstruktiv beweisbare Satze der Analysis. «The Journal of symbolic logic», 1949, v. 14, № 3; Mazur S. Computable analysis. «Rozprawy matematyczne» [Warszawa], 1963, t. 33 [библиогр. с. 109—110]; Гудстейн P. Л. Рекурсивный математический анализ. Пер. с англ. М., 1970; Кушнер Б. А. Лекции по конструктивному математическому анализу. М.. 1973 [библиогр. с. 427—440].

КОНСТРУКТИВНЫЙ АНАЛИЗ

рекурсивный анализ, вычислимый анализ,- название, объединяющее различные течения в основаниях математики и математич. анализе. При развитии К. а., как правило, преследуются обе или вторая из следующих двух принципиальных целей: (1) нетрадиционное построение тех или иных фрагментов анализа на основе более ясных и в большей степени учитывающих реальные вычислительные возможности исходных концепций, нежели теоретико-множественные посылки обычного анализа; (2) изучение эффективности в анализе; введение и изучение вычислимых объектов анализа, в частности исследование вопроса о том, по каким исходным данным можно эффективно находить те или иные вычислимые объекты. В соответствии с этими целями, исследования по К. а. можно грубо разделить на два типа: претендующие и не претендующие на достижение цели (1). Для исследований первого типа характерно либо использование нестандартных логик, либо существенные ограничения в употреблении традиционных логнче’ских и математических средств, в то время как в работах второго типа свободно используются традиционная математика и логика. Ко второму типу относятся основополагающие работы (см. [1]-[4]), в к-рых были выработаны современные концепции вычислимого действительного числа (см. также [5]-[12]). К первому типу относятся исследования по интуиционистскому анализу (см. Интуиционизм), возникшие в связи с выдвинутой Л. Э. Я. Брауэром (L. E. J. Brower) интуиционистской программой построения математики и оказавшие существенное влияние на формирование задач и методов К. а., рекурсивный анализ Р. Л. Гудстейна (R. L. Соodstein, см. [12]), а также оригинальная и чрезвычайно далеко продвинутая система К. а., развитая Э. Бишопом (см. [13]). (Конструктивный анализ Бишопа занимает промежуточное положение между интуиционистским анализом и системами, использующими точные концепции алгоритма.) Своеобразная трактовка К. а. (в частности, теории меры) была предложена в 1970 П. Мартином-Лёфом [14]. В СССР начиная с 50-х гг. в трудах А. А. Маркова, Н. А. Шанина и их учеников (см. [15], [16], [19]) интенсивно разрабатывалась система К. а., относящаяся к первому типу и укладывающаяся в рамки конструктивного направления в математике. Являясь частью конструктивной математики, эта система (за к-рой ниже для краткости закрепляется термин «К. а.») сохраняет характерные черты последней. В частности, рассмотрения ограничиваются конструктивными объектами (чаще всего словами в нек-рых алфавитах или объектами, допускающими очевидное кодирование словами) и проводятся в рамках абст ракции потенциальной осуществимости с применением специальной конструктивной логики, вырабатываемой с учетом специфики конструктивных объектов как результатов потенциально выполнимых конечных построений. При этом полностью исключается использование абстракции актуальной бесконечности, и интуитивное понятие «эффективности» связывается с одним из точных понятий алгоритма (в большинстве работ, относящихся к рассматриваемой системе К. а., используется понятие нормального алгорифма). В рамках К. а. получено большое число результатов, интересных как с точки зрения круга вопросов (1), так и с точки зрения круга вопросов (2). По существу показана возможность построения средствами конструктивной математики ряда теорий, таких, как теория элементарных функций, теория рядов, интегрирования по Римануи Лебегу, теория функций комплексного переменного, теория обобщенных функций и т. п. Получающиеся конструктивные теории наряду со сходством с одноименными традиционными теориями обладают заметными отличиями от них; впрочем эти отличия проявляются не столько в конкретных вопросах, связанных с приложениями анализа, сколько в теоретич. концепциях (таких, напр., как концепция компактности и т. д.).

Фундаментальными понятиями К. а. являются понятия конструктивного действительного числа и конструктивной функции действительного переменного. Конструктивные действительные числа можно ввести различными (не всегда эквивалентными) способами. Опишем один из таких способов, следующий канторовскому построению классического континуума п приводящий к наиболее употребительной и естественной концепции конструктивного (вычислимого) действительного числа. Сначала вводятся натуральные числа как слова вида 0, 01,011, . в двухбуквенном алфавите <01>. Аналогично определяются рациональные числа как слова нек-рого типа в алфавите Определяются отношения порядка и равенства над рациональными числами, а также арифметич. операции над ними. Конструктивной последовательностью натуральных чисел (к. п. н. ч.) наз. (нормальный) алгорифм, перерабатывающий всякое натуральное число в натуральное число. Аналогичным образом трактуется понятие конструктивной последовательности рациональных чисел (к. п. р. ч.). Схемы нормальных алгорифмов однозначным образом кодируются словами в алфавите <01>; код данного алгорифма наз. его записью. К. п. н. ч. аназ. регулятором фундаментальности к. п. р. ч. Р, если для любых натуральных I, m, n таких, что l,выполняется неравенство |b(l)-b(m)| -n . К. п. р. ч. наз. фундаментальной, если можно построить ее регулятор фундаментальности. Конструктивными действительными числами (к. д. ч.) наз. рациональные числа, а также слова в алфавите вида (играет роль разделительного знака), где U- запись некоторой к. п. р. ч., V — запись к. п. н. ч., являющейся регулятором фундаментальности этой к. п. р. ч. Описанное понятие к. д. ч. (предложенное Н. А. Шаниным, см. [20], называвшим такие к. д. ч. «FR-числами» или «дуплексами») хорошо согласуется с интуитивным представлением о вычислимых действительных числах как объектах, допускающих эффективную сколь угодно точную аппроксимацию рациональными числами. Для к. д. ч. можно определить естественным образом отношения порядка и равенства и арифметич. операции (причем последние задаются алгоритмами). Система к. д. ч. с этими отношениями равенства и порядка и арифметич. операциями оказывается полем. Далее, можно ввести в рассмотрение конструктивные последовательности к. д. ч. (к. п. д. ч.) и определить в том же порядке идей, что и выше, понятие фундаментальной к. п. д. ч. и понятие конструктивной сходимости к. п. д. ч. к данному к. д. ч. Относительно такого понятия сходимости система к. д. ч. оказывается полной: существует алгоритм, находящий, исходя из записи всякой фундаментальной к. п. д. ч. g. и записи ее регулятора фундаментальности, такое к. д. ч., к к-рому (конструктивно) сходится g(теорема о полноте системы к. д. ч.). Методом, аналогичным канторовскому, можно доказать также теорему о конструктивной несчетности множества всех к. д. ч.: осуществим алгоритм, перерабатывающий запись всякой к. п. д. ч. в к. д. ч., отличное (в смысле равенства к. д. ч.) от всех членов этой к. п. д. ч. Теорема о полноте придает значительное сходство конструктивной и классич. теориям пределов, особенно сильно проявляющееся в вопросах сходимости тех или иных конкретных используемых в анализе последовательностей и рядов. Вместе с тем здесь имеются и существенные отличия, проявляющиеся, напр., в следующем результате Э. Шпеккера (см. [4]): можно построить возрастающую к. п. р. ч. b такую, что всегда 0 1) наз. (нормальный) алгорифм a. такой, что a(0) есть целое число и a(i) при i>0 есть натуральное число, причем (с m-ичной дробью a. связывается к. п. р. ч. Несмотря на простоту такого понятия к. д. ч., оно не получило распространения, поскольку обладает рядом существенных неудобств: напр., не сохраняется теорема о полноте и невозможен алгорифм, осуществляющий сложение любых двух m-ичных дробей.

Понятие конструктивной функции (к. ф.) является естественным уточнением интуитивного понятия точечной вычислимой функции над вычислимыми действительными числами. Конструктивной функцией (одной действительной переменной) наз. (нормальный) алгорифм Fтакой, что для любых равных к. д. ч. хи у, если Fприменим к х, то Fприменим к у и F(x), F(y)суть равные к. д. ч. В терминах к. ф. могут быть введены элементарные функции (показательная функция, тригонометрия, функции и др.), обладающие обычными свойствами; для конструктивных функций могут быть развиты теории дифференцирования, интегрирования по Риману и т. д., близкие к традиционным. Вместе с тем возможны и необычные с традиционной точки зрения функции: напр., построена к. ф., всюду определенная, непрерывная на единичном сегменте и не ограниченная на нем (см. [17]). Не имеет аналогов в традиционном анализе и теорема, согласно к-рой всякая к. ф. конструктивно непрерывна в любой точке, в к-рой она определена (см. [18]).

Система понятий и методы К. а., позволяя существенно продвинуться с точки зрения цели (1), оказались также удобными для выявления вычислительных связей в анализе, поскольку многие теоремы К. а. являются либо утверждениями об осуществимости алгоритмов, строящих нек-рые конструктивные объекты по тем пли иным исходным данным, либо утверждениями, что такие алгоритмы невозможны. В настоящее время (к 1978) установлена неразрешимость большого числа естественных массовых проблем анализа. Результаты этого типа (совершенно отсутствующие в курсах традиционного анализа) имеют очевидную теоретич. и практич. ценность, так как они выявляют потенциальные вычислительные тупики и способствуют четкому уяснению принципиальных границ вычислительных возможностей. Так, доказана невозможность следующих алгоритмов (в смысле одного из уточнений понятия алгоритма): 1) распознающего для произвольного конструктивного действительного числа равно оно нулю или нет; 2) находящего для каждой сходящейся к. п. р. ч. то к. д. ч., к к-рому она сходится; 3) находящего для каждой совместной системы линейных уравнений (над полем к. д. ч.) какое-либо ее решение; 4) находящего для каждой непрерывной кусочно линейной знакопеременной функции корень этой функции; 5) находящего для всякой непрерывной кусочно линейной на единичном сегменте функции ее интеграл Римана по этому сегменту. К этому же кругу результатов принадлежит и следующая теорема, полностью решающая вопрос о возможности эффективного перехода от одной системы счисления к другой: алгоритм, находящий для всякой m-ичной конструктивной дроби равную ей n-ичную конструктивную дробь, возможен тогда и только тогда, когда множество простых делителей псодержится в множестве простых делителей т(см. [6]). (В частности, возможен алгоритм перехода от десятичной системы счисления к двоичной, но невозможен алгоритм перехода от двоичной системы к десятичной.) Теоремы о невозможности алгоритмов часто сопровождаются в К. а. теоремами о существовании алгоритмов, решающих рассматриваемые задачи по более полным исходным данным (ср. теорему о полноте к. д. ч. и пример 2)) или с произвольной наперед заданной точностью (напр., можно построить алгоритм, находящий для каждой всюду определенной знакопеременной к. ф. f и каждого пк. д. ч. х _{f, п} такое, что |f(x_{f, n})| -n ). Сопоставление таких результатов позволяет во многих случаях получить отчетливое представление о том, как можно корректно ставить ту или иную алгоритмич. проблему.

Лит.:[1] Turing A. M., «Proc. London Math. Soc. Ser. II», 1937, v. 42, p. 230-65; v. 43, part 6, p. 544-46; [2] Ваnach S., Mazur S., «Ann. polon. math.», 1937, v. 16, p. 223; [3] Mazur S., Computable analysis, Warszawa, 1963; [4] S p e ck er E., «J. Symbol. Log.», 1949, v. 14, № 3, p. 145- 158; [5] Grzegorczyk A., «Fundam. math.», 1955, v. 42, p. 168-202,232-39; 1957, V. 44, № 1, p. 61-71; [6] Mоstоwsk i А., там же, р. 37-51; [7] Кlaua D., Konstruktive Analysis, В., 1961; [8] Кreisel G., Lасоmbe D., Sсhoenfield J. R., «C. r. Acad. sci.», 1957, t. 245, № 4, p. 399-402; [9] Кreisel G., Lасоmbe D., там же, Ni14, p. 1106-1109; [10] Lacombe D., там же, 1955, t. 240, №26, p. 2478-80; t. 241, N4 1, p. 13-14, №2, p. 151-53, № 19, p. 1250-52; 1957, t. 244, № 7, p. 838-40, N5 8, p. 996 — 97; t. 245, № 13, p. 1040-43; 1958, t. 246, № 1, p. 28-31; [11] Успенский В. А., Лекции о вычислимых функциях, М., 1960; [12] Гудстейн Р. Л., Рекурсивный математический анализ, пер. с англ., М., 1970; [13] Bishop E., Foundations of constructive analysis, N. Y., 1967; [14] Мартин-Лёф П., Очерки по конструктивной математике, пер. с англ., М., 1975; [151 Марков А. А., Теория алгорифмов, М.- Л., 1954; [16] Шанин Н. А., «Тр. матем. ин-та АН СССР», 1962, т. 67, с. 15-294; [17] Заславский И. Д., там же. с. 385-457; [18] Цейтин Г. С, там же, с. 295-361; [19] Кушнер Б. А., Лекции по конструктивному математическому анализу, М., 1973.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977—1985 .