Gocapital.ru

Мировой кризис и Я
4 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Статистический анализ испытаний

Метод статистических испытаний

В тех случаях, когда при моделировании необходимо учитывать некоторый случайный фактор (элемент или явление), который невоз­можно описать аналитически, используют метод моделирования, на­зываемый методом статистических испытаний или методом Монте-Карло. С помощью этого метода может быть решена любая вероятностная задача. Однако использовать его целесообразно в том случае, если решить задачу этим методом проще, чем любым другим.

Суть метода состоит в том, что вместо описания случайных яв­лений аналитическими зависимостями проводится розыгрыш случай­ного явления с помощью некоторой процедуры, которая дает случай­ный результат. С помощью розыгрыша получают одну реализацию случайного явления. Осуществляя многократно такой розыгрыш, на­капливают статистический материал (то есть множество реализаций случайной величины), который можно обрабатывать статистически­ми методами. Рассмотрим этот метод на примерах.

Пример 3.1. Пусть четыре стрелка одновременно стреляют по движущейся цели. Вероятность попадания в цель каждым стрелком равняется 0,5 (попал или не попал). Цель считается пораженной, если в нее попало два или более стрелка. Найти вероятность поражения цели.

Эту задачу можно легко решить методами теории вероятности. Вероятность поражения цели .

Вероятность непоражения Рнепор определяют как число сочета­ний, когда в цель не попал ни один стрелок, плюс попал один из стрелков:

Решим эту задачу методом статистических испытаний. Процедуру розыгрыша реализуем подбрасываниям одновременно четырех монет. Если монета падает лицевой стороной, то считаем, что стрелок пал в цель. Обозначим через t число успешных испытаний. Сделаем N испытаний, тогда в соответствии с теоремой Бернулли: .

Пример 3.2. Пусть есть некоторая цель, на которую бомбарди­ровщики сбрасывают n бомб. Каждая бомба поражает область в виде круга радиусом r (рис. 3.1). Цель считается пораженной, если одно­временно бомбами накрыто K процентов площади S. Найти вероят­ность поражения цели.

Аналитически решить эту задачу очень трудно. Покажем, как ее можно решить методом статистических испытаний.

Наложим координатную сетку на всю возможную область попа­дания бомб. Разыграем n точек — координат попадания бомб. Опишем возле каждой точки круг радиусом r (рис. 3.2) и определим заштри­хованную площадь поражения. Если заштрихованная площадь будет составлять К процентов и больше всей площади цели S, то цель счи­тается пораженной, а испытание успешным. В противном случае цель не будет поражена и испытание не успешное.

Выполним N испытаний. Тогда вероятность поражения цели , где — количество испытаний, при которых цель была поpажена.

Методом статистических испытаний можно оценить математичское ожидание и другие вероятностные характеристики. Например, ценку математического ожидания площади поражения цели можно определить как . При эта оценка будет приближаться к математическому ожиданию в соответствии с законом больших чисел. В этом выражении площадь поражения в i-м испытании.

Алгоритм метода статистических испытаний такой:

1. Определить, что собой будет представлять испытание или розыгрыш.

2. Определить, какое испытание является успешным, а какое — нет.

3. Провести большое количество испытаний.

4. Обработать полученные результаты статистическими методами и рассчитать статистические оценки искомых величин.

К недостаткам метода можно отнести необходимость проведе­ния большого количества испытаний, чтобы получить результат с за­данной точностью.

Таким образом, метод статистических испытаний — это метод математического моделирования случайных величин, в котором сама случайность непосредственно включена в процесс моделирования и является его важным элементом. Каждый раз, когда в ход выполне­ния некоторой операции вмешивается случайный фактор, его влияние моделируется с помощью розыгрыша.

Для эффективного розыгрыша случайных величин используют генераторы случайных чисел. Такие генераторы строятся аппаратны­ми и программными методами. Наиболее применимыми являются программные методы, которые дают возможность получить последо­вательности псевдослучайных чисел по рекуррентным формулам. Обычно используется мультипликативный конгруэнтный метод, ре­куррентное соотношение для которого имеет вид:

(3.1)

где а и m — некоторые константы. Необходимо взять последнее псев­дослучайное число , умножить его на постоянный коэффициент a и взять модуль полученного числа по m, то есть разделить наши по­лучить остаток. Этот остаток и будет следующим псевдослучайным числом . Для двоичного компьютера , где g— длина раз- рядной сетки. Например, для 32-разрядного компьютера , поскольку один разряд задает знак числа.

В языке GPSS World используется мультипликативный конгруэнтный алгоритм Лехмера с максимальным периодом, который генерирует 2147483647 уникальных случайных чисел без повторения. Эти числа генерируют специальные генераторы, которые обозначаются КN , где № — номер генератора случайных чисел (может принимать значения от 1 до 7). При обращении к этим генераторам выдаются целые случайные числа в диапазоне от 0 до 999 включительно. При использовании генераторов в случайных функциях распределе­ний случайные числа генерируются в диапазоне от 0 до 0,999999 включительно.

Статистический анализ испытаний

1. Общая идея метода статистических испытаний.

2. Моделирование случайных величин.

3. Моделирование последовательности случайных испытаний.

4. Моделирование дискретной случайной величины.

5. Моделирование непрерывной случайной величины.

1. Общая идея метода статистических испытаний

Практически во всех вероятностных задачах удается установить формальную зависимость конечного результата от исходных данных, т.е получить аналитическое решение задачи. Если этого сделать нельзя, то используют метод статистических испытаний.

Основная идея метода: вместо аналитического решения задачи либо проводят эксперименты, испытания, непосредственно рассматриваемые в задаче, либо эти испытания заменяют другими, имеющими с исходными одинаковую вероятностную структуру (т.е. рассматриваемые в задаче случайные явления имитируют, моделируют другими случайными явлениями).

Определенные по результатам достаточно большого числа испытаний характеристики случайных явлений (относительные частоты, средние арифметические) используют в качестве приближенного решения задачи (в качестве оценок вероятностей, математических ожиданий). Допустимость этого приближения основывается на законе больших чисел.

Метод статистических испытаний применяют для решения не только тех задач, в которых в явном виде имеются случайные явления, но так же и для решения многих математических задач, не содержащих таких явлений. В этом случае искусственно подбирают такое случайное явление, характеристики которого связаны с результатами решения исходной задачи. Для определения числовых значений этих характеристик используется метод статистических испытаний.

Т.к. достаточно высокая точность решения при использовании метода статистических испытаний гарантируется, как правило, только при проведении большого числа испытаний, этот метод можно реализовать только на ЭВМ. Поэтому данный метод часто называют «машинным».

Для иллюстрации метода статистических испытаний рассмотрим следующую задачу.

Задача 1: Система контроля качества продукции состоит из 3-ех приборов. Вероятность безотказной работы каждого из них в течение времени t равна 5/6. Приборы выходят из строя независимо друг от друга. При отказе хотя бы одного прибора вся система перестает работать. Найти вероятность того, что система откажет за время t .

Читать еще:  Анализ организационной структуры управления предприятием

Решим задачу аналитически и методом статистических испытаний.

Пусть событие А- вышел из строя хотя бы один элемент. Тогда событие — ни один прибор из строя не вышел. События А и — противоположные.

Метод статистических испытаний: В условиях данной задачи «натуральных эксперимент»- наблюдение за работой системы в течение времени t . Многократное повторение этого эксперимента может оказаться трудноосуществимым или просто невозможным. Заменим этот эксперимент другим.

Для определения того, выйдет или нет из строя за время t отдельный прибор, будем подбрасывать игральную кость. Если выпадет одно очко, то будем считать, что прибор вышел из строя. Если не выпадет одно очко, то будем считать, что прибор работает безотказно. Вероятность того, что выпадет одно очко, так же как и вероятность выхода прибора из строя равна 1/6, а вероятность, что выпадет любое другое число очков, как и вероятность безотказной работы прибора равна 5/6. Чтобы определить, откажет или нет вся система за время t , будем подбрасывать 3 игральные кости (или одну кость 3 раза). Если хотя бы на одной из трех костей выпадет одно очко, то это будет означать, что система отказала.

Повторим испытание, состоящее в подбрасывании трех игральных костей, много раз подряд и найдем отношение числа отказов ( m ) системы к общему числу проведенных испытаний ( n ). Вероятность отказа Р(А)= m / n .

Другое название данного метода метод Монте-Карло.

Зададимся малой погрешностью и вероятностью , гарантирующей эту погрешность. Тогда, при числе испытаний , можно с вероятностью быть уверенным в том, что абсолютная погрешность приближенного равенства р = m / n не превысит .

2. Моделирование случайных величин

Оказывается, что для имитации на ЭВМ случайных явлений самой различной природы достаточно получить на ЭВМ последовательность значений случайной величины, равномерно распределенной на отрезке [0; 1]. Процесс получения значений случайной величины называется ее моделированием.

Существует три способа получения последовательности чисел, равномерно распределенной на интервале [0; 1].:

  1. С помощью генератора случайных чисел.
  2. С помощью таблицы случайных чисел.
  3. Методом псевдослучайных чисел.

3. Моделирование последовательности случайных испытаний

а) Пусть производится последовательность K независимых испытаний. В результате каждого испытания может произойти одно из двух противоположных событий A или B . Р(А)=р, Р(В)=1-р.

Моделирование последовательности испытаний осуществляется таким образом:

Получаем последовательность значений r1, r2, . rk случайной величины R , имеющей равномерное распределение на отрезке [0; 1]. Если ri р, то считаем, что в i -ом испытании наступило событие В.

б) Теперь предположим, что результатом каждого из k независимых испытаний может быть появление одного из n несовместных событий А 1 , А 2 , … А n , образующих полную группу событий. Известна вероятность появления каждого события Р(А i )=р i , i =1, 2, … n , которая не меняется при переходе от одного испытания к другому. Заметим, что р 1 +р 2 +…+р n =1.

Моделирование такой последовательности испытаний осуществляется следующим образом:

Разделим отрезок [0; 1] на n участков , , …, , длины которых соответственно равны р 1 , р 2 , …, р n . Получаем последовательность значений r 1 , r 2 , . r k случайной величины R . Если , то считаем, что в i -ом испытании наступило событие А m .

Проводится последовательность независимых испытаний. в результате каждого испытания может произойти одно из несовместных событий А 1 , А 2 , А 3 , образующих полную группу. Р(А 1 )=0,35; Р(А 2 )=0,25; Р(А 3 )=0,4

Моделирование такой последовательности испытаний осуществляется следующим образом: разделим отрезок [0; 1] на три участка:

Получим последовательность значений R равномерной случайной величины (Можно взять из готовых таблиц случайных чисел) r 1 =0,15; r 2 =0,34; r 3 =0,75 и т.д.

Значение r 1 попало в первый интервал, значит в первом испытании произойдет событие А 1 . r 2 попало так же в первый интервал, т.е. во втором испытании произойдет событие А 1 . r 3 попало в третий интервал, т.е. в третьем испытании произойдет событие А 3 и т.д.

в) Пусть производится последовательность зависимых испытаний. В результате каждого испытания может произойти одно из противоположных событий А и В.

Моделирование этой последовательности испытаний осуществляется следующим образом:

1) Получаем значение r 1 случайной величины R . Если r 1 Р 2 (А/А), то считаем, что произошло событие В.

Допустим, что произошло событие В.

3) Получим следующее значение r 3 . Если r 33 (А/А,В), где Р 3 (А/А,В)- вероятность появления в третьем испытании события А, при условии наступления в первом и втором – событий А и В, то считаем, что в третьем испытании появилось событие А, в противном случае- событие В и т.д.

Этот алгоритм моделирования зависимых испытаний легко обобщить на случай, когда результатом каждого испытания может быть появление не только двух, а и большего числа событий.

4. Моделирование дискретной случайной величины

а) Общий алгоритм моделирования

Моделирование дискретной случайной величины можно свести к моделированию последовательности независимых испытаний.

Пусть имеет место следующий ряд распределения:

Обозначим через A i событие, состоящее в том, что случайная величина Х примет значение х i .

Тогда нахождение значения, принятого случайной величиной Х в результате испытания, сводится к определению того, какое из событий А 1 , А 2 , … А n появится. Т.к. А 1 , А 2 , … А n – несовместны, образуют полную группу случайных событий и вероятность появления каждого из них не изменяется от испытания к испытанию, то для определения последовательности значений, принятых случайной величиной Х, можно использовать процедуру моделирования последовательности независимых испытаний.

Помимо рассмотренного выше общего алгоритма моделирования случайной дискретной величины для многих законов распределения существуют специальные алгоритмы.

б) Моделирование случайной величины с биномиальным распределением.

р- вероятность появления события в каждом испытании.

Введем случайную величину Х i — число появления события в i -ом испытании ( i =1, 2, … n ). Очевидно, что эта величина может принимать только 2 значения: 1 (с вероятностью р) и 0 (с вероятностью 1-р), т.е.

Тогда случайное число m – появлений события в n испытаниях вычисляется по формуле: m = X 1 + X 2 +. + X n

Т.е. определение значения случайной величины m сводится к следующей процедуре:

1) Получают последовательность значений r 1 , r 2 , r 3 , . rn случайной величины R — равномерно распределенной на отрезке [0; 1].

2) Для каждого r i ( i = 1, 2, … , n ) проверяют, выполняется ли неравенство r i < p . Если неравенство выполняется, то полагают Хi =1, в противном случае Х i =0.

3) Находят сумму значений n случайных величин Х i (это значение m ).

Повторяя эту процедуру получают последовательность значений m 1 , m 2 , m 3 , . – случайных величин с биномиальным распределением.

Найдем последовательность значений случайной величины m с биномиальным распределением, если n = 7, р=0,3. Из таблицы случайных чисел берем 7 значений r 1 =0,15, r 2 =0,34, r 3 =0,71, r 4 =0,06, r 5 =0,28, r 6 =0,36, r 7 =0,78. Три числа из них не превосходят р=0,3. Следовательно m принимает значение 3. Из той же таблицы берем очередные 7 чисел: 0,73; 0,55; 0,74; 0,75; 0,45; 0,61; 0,28. Одно из них не превосходит р=0,3. Поэтому следующее значение величины m равно 1 и т.д.

Читать еще:  Анализ в менеджменте это

5. Моделирование непрерывной случайной величины

а) Метод обратных функций

Допустим, что нужно найти последовательность значений случайной величины Х, имеющей монотонно возрастающую функцию Fx ( x ).

Случайная величина Х с монотонно возрастающей функцией распределения y = Fx ( x ) связана со случайной величиной R . Значения х случайной величины Х являются решением уравнения Fx ( x )= r , где r — значение случайной величины R , т.е.

Последовательности значений r 1 , r 2 , r 3 , . — случайной величины R соответствует последовательность значений случайной величины Х с функцией распределения Fx ( x ).

Метод получения значений случайной величины Х, использующий функцию обратную функции Fx ( x ) называется методом обратной функции.

б) Моделирование случайной величины с равномерным распределением на отрезке [ a ; b ].

Пусть случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке [ a ; b ]. тогда для х [ a ; b ]:

Последовательность значений r 1 , r 2 , r 3 … случайной величины R соответствует последовательности значений х 1 = a + r 1 ( b — a ); х 2 = a + r 2 ( b — a ); х 3 = a + r 3 ( b — a )… случайной величины Х, равномерно распределенной на отрезке [ a ; b ].

в) Моделирование случайной величины с нормальным распределением.

Для моделирования случайной величины с нормальным законом распределения можно использовать как метод обратных функций, так и методы, специально разработанные для нормального закона.

Допустим, что требуется получить значения нормально распределенной случайной величины Х с известными математическим ожиданием и дисперсией.

Значения случайной величины Х находим по формуле:

Например, при n =12

где r 1 , r 2 , r 3 , . r 12 – значения случайной величины R , равномерно распределенной на [0; 1]. Т.о., имея 12 значений случайной величины R и подставив их в формулу, получают значение случайной величины Х; имея следующие 12 значений величины R и подставив их в формулу, получают следующее значение величины Х и т.д.

Анализ результатов статических испытаний

Оценки результатов испытаний выполняются на основании всесто­роннего их анализа и сопоставления с данными теоретических расчетов, уточненных в соответствии с фактическими размерами, характеристиками материала и состоянием проверяемого объекта.

Наиболее полная оценка может быть дана при рассмотрении ре­зультатов испытаний до исчерпания несущей способности. При этом мо­гут быть выявлены следующие основные вопросы:

• каким образом происходит потеря несущей способности: в ре­зультате разрушения материала в одном или нескольких основных элемен­тах конструкции; из-за потери устойчивости отдельных элементов или всей конструкции в целом; из-за нарушения работы связей и соединений и т.д.;

• соответствует ли фактическая разрушающая нагрузка теоретиче­ской и степень их расхождения;

• соответствуют ли измеряемые во время испытания перемещения и деформации вычисленным теоретически.

На основании анализа характера потери несущей способности мо­гут быть сформулированы рекомендации по усилению выявленных более слабых элементов и узлов в аналогичных конструкциях. Сопоставление фактической и теоретически ожидаемой разрушающей нагрузок дает воз­можность при превышении разрушающей нагрузки над ее теоретическим значением оценить не учтенные ранее или излишние запасы прочности с вытекающими отсюда практическими выводами. Наступление же разруше­ния при нагрузке, меньшей теоретической, может свидетельствовать о не­доброкачественности примененных материалов при выполнении работ на исследуемом объекте. В обоих случаях расхождение может быть также следствием неправильно выбранной расчетной схемы или методики расчета конструкции.

Окончательные выводы могут быть сделаны на основании анализа и сравнения измеренных перемещений и деформаций с теоретическими, а также рассмотрения условий появления и постепенного развития трещин и других повреждений в объекте испытания во время его загружения.

При испытаниях до разрушения контрольных образцовизделий серийного изготовления (например, стеновых панелей и других аналогич­ных элементов и конструкций) выводы по результатам испытаний делают с учетом соответствующих нормативных указаний.

Так, например, если разрушение отобранных для испытания пане­лей происходит при нагрузке, меньшей 100%, но не меньшей 85% кон­трольной, то требуется повторное загружение такого же количества образ­цов. Всю проверяемую партию считают выдержавшей испытание, если при этом повторном опробовании ни один образец не разрушился при нагрузке, меньшей 85%. В противном случае партию бракуют. В панелях, признан­ных годными по их несущей способности, испытанные пробы не должны превышать контрольные более чем на 10%.

Если в панелях не допускаются трещины по условиям их эксплуа­тации, а при испытаниях они появляются при нагрузке, меньшей контроль­ной, то партия приему не подлежит.

Наиболее сложной является оценка результатов испытаний соору­жений, предназначенных к эксплуатации, поскольку суждение об их факти­ческой несущей способности и прогнозы в отношении предстоящей их ра­боты приходится в ряде случаев делать на основании приложения к ним нагрузки, не превышающей расчетной. Основными показателями, исполь­зуемыми при этой оценке, являются перемещения и деформации, измерен­ные при испытании в результате наблюдений за появлением и развитием трещин и повреждений в нагружаемых конструкциях. При анализе этих данных исходят из следующих соображений:

1) экспериментально выявленное напряженно-деформированное состояние проверяемых конструкций должно соответствовать теоретиче­скому. В тех случаях, когда значения предельных перемещений нормирова­ны по условиям эксплуатации, эти требования должны быть соблюдены;

2) при испытаниях объектов, многократно подвергавшихся сило­вым воздействиям выявление сколько-нибудь значительных остаточных перемещений и деформаций после приложения и снятия такой же испыта­тельной нагрузки является признаком неудовлетворительной работы со­оружения. Причины этого должны быть выявлены и на основании их сде­ланы соответствующие практические выводы;

3) остаточные прогибы железобетонных впервые нагружаемых конструкций не должны превосходить 1/3 прогиба, измеренного при норма­тивной нагрузке;

4) существенные заключения могут быть сделаны (в том числе и для объяснения появления чрезмерных остаточных прогибов) на основании наблюдений за нарастанием перемещений при выдерживании нагрузки на сооружении и затем постепенным уменьшением их после снятия нагрузки. При нормальной работе сооружения эти изменения должны постепенно затухать; отсутствие явного затухания свидетельствует о неудовлетвори­тельном состоянии сооружения; в случае же ускорения процесса нараста­ния перемещений во время выдерживания нагрузки сооружение по его со­стоянию должно быть признано негодным для передачи в эксплуатацию;

5) в предварительно напряженных конструкциях после их загружения и обратного снятия нагрузки не должны уменьшаться усилия в предва­рительно напряженных элементах.

При наличии многочисленных результатов испытаний однотипных конструкций, проведенных в сопоставимых условиях, выводы по ним полу­чают путем статистической обработки соответствующих эксперимен­тальных данных.

Читать еще:  Анализ внутренних факторов предприятия

Статистическая обработка результатов измерения

Завершающей стадией количественного анализа химического состава вещества любым методом является статистическая обработка результатов измерений. Она позволяет оценить систематические и случайные погрешности измерений.

Используя приемы математической статистики, можно:

• рассчитать основные метрологические характеристики методики анализа (оценить воспроизводимость и правильность полученных данных, отбросив результаты, содержащие промахи);

• определить методом регрессивного анализа вид функциональной зависимости аналитического сигнала от концентрации (содержания) определяемого элемента;

• рассчитать метрологические характеристики параметров градуировочного графика и результатов анализа;

• представить результаты статистической обработки в виде компактных табличных данных, позволяющих оценить воспроизводимость и правильность полученных результатов;

• в случае необходимости оценить нижнюю границу определяемых содержаний вещества, предел определения (обнаружения), коэффициент чувствительности.

Расчет метрологических характеристик результатов измерений (определений) при малой выборке

При химическом анализе пищевых продуктов содержание вещества в пробе устанавливают, как правило, по небольшому числу параллельных определений (n). Для расчета погрешностей определений в этом случае пользуются методами математической статистики, разработанными для малого числа определений. Полученные результаты рассматривают как случайную (малую) выборку из некоторой гипотетической генеральной совокупности, состоящей из всех мыслимых в данных условиях наблюдений.

Для практических целей можно считать, что при числе измерений п — 20-30 значения стандартного отклонения генеральной совокупности (а) — основного параметра и стандартного отклонения малой выборки (S) близки (S = у).

Оценка воспроизводимости результатов измерений

Среднее выборки. Пусть x1, х2, . хп обозначают п результатов измерений величины, истинное значение которой р.. Предполагается, что все измерения проделаны одним методом и с одинаковой точностью. Такие измерения называют равноточными.

В теории ошибок доказывается, что при условии выполнения нормального закона при п измерениях одинаковой точности среднее арифметическое из результатов, полученных при всех измерениях, является наиболее вероятным и наилучшим значением измеряемой величины:

Это среднее значение принимают за приближенное и пишут X = м.

Единичное отклонение — это отклонение отдельного измерения от среднего арифметического:

Алгебраическая сумма единичных отклонений равна нулю:

Дисперсия, стандартное отклонение, относительное стандартное отклонение. Рассеяние результатов измерений относительно среднего значения принято характеризовать дисперсией S 2 :

или стандартным отклонением (средним квадратичным отклонением) — S:

которое обычно и приводят при представлении результатов измерений (анализа) и которым характеризуют их воспроизводимость.

Стандартное отклонение, деленное на среднее выборки, называют относительным стандартным отклонением:

В общем случае метод анализа оптимален в той области содержаний, в которой и абсолютное (S) и относительное (Sr) стандартное отклонение имеют минимальные значения.

Определение и исключение грубых погрешностей

В литературе приведены различные методы оценки и исключения грубых погрешностей.

Рассмотрим наиболее простой для практического использования метод исключения грубых промахов по Q-критерию. Для этого составляют отношение:

где х1 — подозрительно выделяющийся результат определения (измерения);

х2 — результат единичного определения, ближайший по значению к х1;

R — размах варьирования;

Я = хмах — хмин — разница между наибольшим и наименьшим значением ряда измерений. При малой выборке (п Q (Р, пi).

Оценка правильности результатов измерений (определений)

После того как осуществлена проверка грубых погрешностей (в случае подозрительных результатов измерений) и их исключение, производят оценку доверительного интервала (Ах) для среднего значения X и интервальных значений X ± Ах.

Доверительный интервал (Ах). Если воспроизводимость результатов измерений (методики анализа) характеризуют стандартным отклонением, то сами результаты измерений (определений) характеризуют доверительным интервалом среднего значения X, который рассчитывают по формуле

где tP, f — квантиль распределения Стьюдента при числе степеней свободы f = п — 1 и двухсторонней доверительной вероятности Р (значения tp, f см. в табл. 1.2).

Обычно для расчетов доверительного интервала пользуются значениями Р = 0,95; иногда достаточно Р = 0,90, но при ответственных измерениях требуется более высокая надежность (Р = 0,99).

Коэффициент tp, f показывает, во сколько раз разность между истинным и средним результатами больше стандартного результата.

Глава 13. Статистический анализ результатов исследований

Основные понятия математической статистики

Математическая статистика – это раздел математики, изучающий приближенные методы сбора и анализа данных по результатам эксперимента для выявления существующих закономерностей, т.е. отыскания законов распределения случайных величин и их числовых характеристик.

В математической статистике принято выделять два основных направления исследований:

1.Оценка параметров генеральной совокупности.

2.Проверка статистических гипотез (некоторых априорных предположений).

Основными понятиями математической статистики являются: генеральная совокупность, выборка, теоретическая функция распределения.

Генеральной совокупностью является набор всех мыслимых статистических данных при наблюдениях случайной величины.

Наблюдаемая случайная величина Х называется признаком или фактором выборки. Генеральная совокупность – есть статистический аналог случайной величины, ее объем N обычно велик, поэтому из нее выбирается часть данных, называемая выборочной совокупностью или просто выборкой.

Выборка – это совокупность случайно отобранных наблюдений (объектов) из генеральной совокупности для непосредственного изучения. Количество объектов в выборке называется объемом выборки и обозначается n. Обычно выборка составляет 5%-10% от генеральной совокупности.

Использование выборки для построения закономерностей, которым подчинена наблюдаемая случайная величина, позволяет избежать ее сплошного (массового) наблюдения, что часто бывает ресурсоемким процессом, а то и просто невозможным.

Например, популяция представляет собой множество индивидуумов. Изучение целой популяции трудоемко и дорого, поэтому собирают данные по выборке индивидуумов, которых считают представителями этой популяции, позволяющими сделать вывод относительно этой популяции.

Однако, выборка обязательно должна удовлетворять условию репрезентативности, т.е. давать обоснованное представление о генеральной совокупности. Как сформировать репрезентативную (представительную) выборку? В идеале стремятся получить случайную (рандомизированную) выборку. Для этого составляют список всех индивидуумов в популяции и случайно их отбирают. Но иной раз затраты при составлении списка могут оказаться недопустимыми и тогда берут приемлемую выборку, например, одну клинику, больницу и исследуют всех пациентов в этой клинике с данным заболеванием.

Каждый элемент выборки называется вариантой. Число повторений варианты в выборке называется частотой встречаемости . Величина называется относительной частотой варианты, т.е. находится как отношение абсолютной частоты варианты ко всему объему выборки. Последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, называется вариационным рядом.

Рассмотрим три формы вариационного ряда: ранжированный, дискретный и интервальный.

Ранжированный ряд — это перечень отдельных единиц совокупности в порядке возрастания изучаемого признака.

Дискретный вариационный ряд представляет собой таблицу, состоящую из граф, либо строк: конкретного значения признака хi и абсолютной частоты ni (или относительной частоты ωi) проявления i-го значения признака x.

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector